yukicoder No.409 ダイエット
問題
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No.409 ダイエット - yukicoder
考えたこと
動的計画法を使います。
配列を次のように定義します。
日目にドーナツを食べた時の体重の変化量の最小値
すると、その時の漸化式は、
なお、最初の行を簡単に説明すると、
(日目にドーナツを食べた時の体重の変化量の最小値)
(~日目に断食していた時の体重の変化量)
(日目に食べたドーナツによる体重の変化量)
となっています。
ここで、上記漸化式のの中をよく見てみると、
となり、これはの次式となっていることが分かります。
従って、「直線(次式)の中での最小値」を求めるため、Convex-Hull Trickを用いることが出来ます。
Convex-Hull Trickに関しては、こちらの記事を参照してください。
satanic0258.hatenablog.com
最後、求めるものは「日目にドーナツを食べ、そこから断食した時の最小値」なので、先ほど求めた配列を使って、
として求めることが出来ます。
コード(C++)
#111250 No.409 ダイエット - yukicoder
※ヘッダ等省略
ll dp[300005]; template<typename T> class ConvecHullTrick { private: // 直線群(配列) std::vector<std::pair<T, T>> lines; // 最小値(最大値)を求めるxが単調であるか bool isMonotonicX; // 最小/最大を判断する関数 std::function<bool(T l, T r)> comp; public: // コンストラクタ ( クエリが単調であった場合はflag = trueとする ) ConvecHullTrick(bool flagX = false, std::function<bool(T l, T r)> compFunc = [](T l, T r) {return l >= r; }) :isMonotonicX(flagX), comp(compFunc) { lines.emplace_back(0, 0); }; // 直線l1, l2, l3のうちl2が不必要であるかどうか bool check(std::pair<T, T> l1, std::pair<T, T> l2, std::pair<T, T> l3) { if (l1 < l3) std::swap(l1, l3); return (l3.second - l2.second) * (l2.first - l1.first) >= (l2.second - l1.second) * (l3.first - l2.first); } // 直線y=ax+bを追加する void add(T a, T b) { std::pair<T, T> line(a, b); while (lines.size() >= 2 && check(*(lines.end() - 2), lines.back(), line)) lines.pop_back(); lines.emplace_back(line); } // i番目の直線f_i(x)に対するxの時の値を返す T f(int i, T x) { return lines[i].first * x + lines[i].second; } // i番目の直線f_i(x)に対するxの時の値を返す T f(std::pair<T, T> line, T x) { return line.first * x + line.second; } // 直線群の中でxの時に最小(最大)となる値を返す T get(T x) { // 最小値(最大値)クエリにおけるxが単調 if (isMonotonicX) { static int head = 0; while (lines.size() - head >= 2 && comp(f(head, x), f(head + 1, x))) ++head; return f(head, x); } else { int low = -1, high = lines.size() - 1; while (high - low > 1) { int mid = (high + low) / 2; (comp(f(mid, x), f(mid + 1, x)) ? low : high) = mid; } return f(high, x); } } }; signed main() { INIT; VAR(ll, n, a, b, w); VEC(int, d, n); ConvecHullTrick<ll> cht(true); dp[0] = 0; FOR(i, 1, n + 1) { dp[i] = cht.get(i - 1) - (i - 1)*a + ((ll)(i - 1) * i) / 2 * b + d[i - 1]; cht.add(-i*b, dp[i] + i*a + (ll)(i - 1) * i / 2 * b); } /* REP(i, n + 1) { OUT(dp[i] + w)SP; }BR; */ ll ans = INFLL; REP(i, n + 1) { ans = std::min(ans, dp[i] + (-(n - i)*a + (n - i)*(n - i + 1) / 2 * b)); } OUT(ans + w); return 0; }
備考
追加する直線の傾き、最小値を求めるクエリにおけるが、共に単調になっているため、計算量はに抑えられます。