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sataniC++

C++、競プロ、数学などについて色々考えたりします。

yukicoder No.409 ダイエット

yukicoder yukicoder-★★★★

問題

問題のURLはこちらです。
No.409 ダイエット - yukicoder

考えたこと

動的計画法を使います。

配列DPを次のように定義します。
DP[i] = i日目にドーナツを食べた時の体重の変化量の最小値

すると、その時の漸化式は、
\displaystyle \begin{eqnarray}
DP[0] &=& 0 \\
DP[i] &=& min_{0\leq t\leq i-1}\left(DP[t] -A(i-t-1)+\cfrac{(i-t-1)(i-t)}{2}B + D[i]\right) \\
&=& min_{0\leq t\leq i-1}\left(DP[t] + tA + \cfrac{-2it+t^2+t}{2}B\right) -A(i-1) + \cfrac{i^2-i}{2}B + D[i] \\
&=& min_{0\leq t\leq i-1}\left(DP[t] + tA + \cfrac{t^2+t}{2}B -itB \right) -A(i-1) + \cfrac{i^2-i}{2}B + D[i] \\
\end{eqnarray}

なお、最初の行を簡単に説明すると、
DP[i]
 = min\left(\right.(t日目にドーナツを食べた時の体重の変化量の最小値)
+ (t+1i-1日目に断食していた時の体重の変化量)
+ (i日目に食べたドーナツによる体重の変化量) \left.\right)
となっています。

ここで、上記漸化式のminの中をよく見てみると、
\displaystyle
DP[t] + tA + \cfrac{t^2+t}{2}B -itB \\
= \left(-tB\right) i + \left(DP[t] + tA + \cfrac{t^2+t}{2}B\right)
となり、これはi1次式となっていることが分かります。

従って、「直線(1次式)の中での最小値」を求めるため、Convex-Hull Trickを用いることが出来ます。

Convex-Hull Trickに関しては、こちらの記事を参照してください。
satanic0258.hatenablog.com

最後、求めるものは「i日目にドーナツを食べ、そこから断食した時の最小値」なので、先ほど求めた配列DPを使って、
W + min_{0\leq i\leq N}\left(DP[i] -(N - i)A + \cfrac{(N - i)(N - i + 1)}{2}B\right)
として求めることが出来ます。

コード(C++)

#111250 No.409 ダイエット - yukicoder
※ヘッダ等省略

ll dp[300005];

template<typename T>
class ConvecHullTrick {
private:
	// 直線群(配列)
	std::vector<std::pair<T, T>> lines;
	// 最小値(最大値)を求めるxが単調であるか
	bool isMonotonicX;
	// 最小/最大を判断する関数
	std::function<bool(T l, T r)> comp;

public:
	// コンストラクタ ( クエリが単調であった場合はflag = trueとする )
	ConvecHullTrick(bool flagX = false, std::function<bool(T l, T r)> compFunc = [](T l, T r) {return l >= r; })
		:isMonotonicX(flagX), comp(compFunc)  {
		lines.emplace_back(0, 0);
	};

	// 直線l1, l2, l3のうちl2が不必要であるかどうか
	bool check(std::pair<T, T> l1, std::pair<T, T> l2, std::pair<T, T> l3) {
		if (l1 < l3) std::swap(l1, l3);
		return (l3.second - l2.second) * (l2.first - l1.first) >= (l2.second - l1.second) * (l3.first - l2.first);
	}

	// 直線y=ax+bを追加する
	void add(T a, T b) {
		std::pair<T, T> line(a, b);
		while (lines.size() >= 2 && check(*(lines.end() - 2), lines.back(), line))
			lines.pop_back();
		lines.emplace_back(line);
	}

	// i番目の直線f_i(x)に対するxの時の値を返す
	T f(int i, T x) {
		return lines[i].first * x + lines[i].second;
	}

	// i番目の直線f_i(x)に対するxの時の値を返す
	T f(std::pair<T, T> line, T x) {
		return line.first * x + line.second;
	}

	// 直線群の中でxの時に最小(最大)となる値を返す
	T get(T x) {
		// 最小値(最大値)クエリにおけるxが単調
		if (isMonotonicX) {
			static int head = 0;
			while (lines.size() - head >= 2 && comp(f(head, x), f(head + 1, x)))
				++head;
			return f(head, x);
		}
		else {
			int low = -1, high = lines.size() - 1;
			while (high - low > 1) {
				int mid = (high + low) / 2;
				(comp(f(mid, x), f(mid + 1, x)) ? low : high) = mid;
			}
			return f(high, x);
		}
	}
};

signed main() {
	INIT;
	VAR(ll, n, a, b, w);
	VEC(int, d, n);
	ConvecHullTrick<ll> cht(true);

	dp[0] = 0;
	FOR(i, 1, n + 1) {
		dp[i] = cht.get(i - 1) - (i - 1)*a + ((ll)(i - 1) * i) / 2 * b + d[i - 1];
		cht.add(-i*b, dp[i] + i*a + (ll)(i - 1) * i / 2 * b);
	}
	/*
	REP(i, n + 1) {
		OUT(dp[i] + w)SP;
	}BR;
	*/
	ll ans = INFLL;
	REP(i, n + 1) {
		ans = std::min(ans, dp[i] + (-(n - i)*a + (n - i)*(n - i + 1) / 2 * b));
	}
	OUT(ans + w);
	return 0;
}

コードの説明など

コード前半部分は、Convex-Hull Trickのクラスを定義しています。

後半部分では、通常の動的計画法の実装を行い、併せて直線の追加などを行っています。

備考

追加する直線の傾き、最小値を求めるクエリにおける{\tt i}が、共に単調になっているため、計算量はO(N)に抑えられます。

感想など

始め、この問題を解いたときは、
DP[i][j] = i 日目に断食継続日数がj日となっているときの体重の変化量のい最小値
と考えて、計算するとj1415ほどしか必要ないと気づき、それで通してしまいました(そのソースはコチラ)。

しかし、学びのため、ということで想定解でもなんとかACしておきました。


この問題を解くまでConvex-Hull Trickという方法を知らなかったため、いい勉強になりました。これを活かして類題も解けるようにしたいですね。